مارس الشيخ سلمان الحمود السلمان الصباح لعبة كرة القدم في أسوار النادي العربي في الخمسيات من القرن الماضي، وتدرج في المراحل السنية إلى أن وصل إلى الفريق الأول، وبعد الإعتزال أتجه للعمل الإداري داخل أسوار النادي العربي، فتدرج من عضو مجلس إدارة، إلى أن تولى رئاسة مجلس إدارة النادي العربي الرياضي من عام 1970 إلى عام 1978.
حيث أن منشآت النادي العربي الحالية قد شيدت على عهده "أبو محمد"، كما عرف عنه العطاء والسخاء، ودعم اللاعبين والرياضيين بكافة انتماءاتهم وميولهم، فكان منبعاً للدعم المادي والمعنوي، وبعد عام 1978 اعتزل العمل الإداري الرياضي، اتجه إلى ممارسة هواياته المحببة له، ثم عاد مجدداً للمجال الرياضي في عام 1988 وتولى رئاسة اللجنة الأولمبية الكويتية، ثم ابتعد عن المجال الرياضي لظروفه الخاصة، وعاد مؤخراً في القرن الحالي وتحديداً في شهر فبراير من العام 2010 ليقود اللجنة المؤقتة لإدارة النادي العربي بعد حل مجلس الإدارة النادي العربي بقيادة جمال الكاظمي من قبل الهيئة العامة للشباب والرياضة لوجود تجاوزات مالية وإدارية.